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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Sa 07.01.2012 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | hi! kann mir jemand folgenden satz erklären: [mm] "\IR^{n\times{n}} [/mm] ist vollständig bezüglich der matrixnorm [mm] ||\cdot{||} [/mm] " ? |
vollständig versteh ich auch nicht ganz, in meinem skript steht: "Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig , falls jede Cauchyfolge in X konvergiert."
was bedeutet dies? kann mir das jemand an einem einfachen beispiel erklären?
vielen dank schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Sa 07.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> hi! kann mir jemand folgenden satz erklären:
> [mm]"\IR^{n\times{n}}[/mm] ist vollständig bezüglich der
> matrixnorm [mm]||\cdot{||}[/mm] " ?
> vollständig versteh ich auch nicht ganz, in meinem skript
> steht: "Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig ,
> falls jede Cauchyfolge in X konvergiert."
>
> was bedeutet dies? kann mir das jemand an einem einfachen
> beispiel erklären?
Wenn du eine Folge von Matrizen in [mm] $\IR^{n \times n}$ [/mm] hast, sagen wir [mm] $A_1, A_2, A_3, \dots$, [/mm] die eine Cauchyfolge bzgl. [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] ist, d.h. [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] m [mm] \forall [/mm] m' [mm] \ge [/mm] m : [mm] \|A_m [/mm] - [mm] A_{m'}\| [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] dann konvergiert die Folge bereits, d.h. es gibt eine Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] so dass [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] m [mm] \forall [/mm] m' [mm] \ge [/mm] m : [mm] \|A [/mm] - [mm] A_{m'}\| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
Das einfachste Beispiel ist wohl [mm] $A_n [/mm] = [mm] \pmat{ 1/n & 1/n \\ 1/n & 1\n }$ [/mm] und $A = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }$. [/mm] Du kannst jetzt selber nachpruefen, dass [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge bzgl. einer Matrixnorm ist (kannst dir eine aussuchen, es geht mit jeder), und dass [mm] $\lim_{n\to\infty} A_n [/mm] = A$ ist.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi! kann mir jemand folgenden satz erklären:
> [mm]"\IR^{n\times{n}}[/mm] ist vollständig bezüglich der
> matrixnorm [mm]||\cdot{||}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
" ?
> vollständig versteh ich auch nicht ganz, in meinem skript
> steht: "Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig ,
> falls jede Cauchyfolge in X konvergiert."
>
> was bedeutet dies? kann mir das jemand an einem einfachen
> beispiel erklären?
die Vollständigkeit selbst bedeutet, dass, sobald Du eine Cauchyfolge in $X\,$ hast, schon weißt, dass sie in $X\,$ konvergiert, also einen Grenzwert hat, der in $X\,$ liegt.
Kennst Du das babylonische Wurzelziehen? Dort bildet man etwa eine Folge rationaler Zahlen, die in $\IR$ konvergiert - und zwar gegen $\sqrt{2} \in \IR\,.$ ($\IR$ ist bzgl. der vom Betrag induzierten Metrik $d_{|.|}$ vollständig, und die reellen Zahlen enthalten die rationalen.)
Was schließt man nun daraus für $(\IQ,d^{\IQ}_{|.|})$, wobei, wenn
$$d_{|.|}: \IR \times \IR \to \IR$$
die vom Betrag induzierte Metrik auf $\IR$ ist, dann
$$d^{\IQ}_{|.|}:=\left.d_{|.|}\right|_{\IQ \times \IQ}$$
ist, also die Einschränkung der "vom Betrag induzierten Metrik auf $\IR$" auf $\IQ\,.$ Kurzgesagt: $d^{\IQ}_{|.|}$ ist die vom Betrag induzierte Metrik auf $\IQ\,.$
Naja: Es gilt
$$(I)\;\;\;\;d^{\IQ}_{|.|}(r,s)=d_{|.|}(r,s) \text{ für alle }r,s \in \IQ\,.\;\;\;^{[1]}$$
(Diese Gleichheit kann man nicht mehr so hinschreiben, wenn $(r,s) \in \IR \times \IR\,,$ denn dann ist i.a. $d^{\IQ}_{|.|}(r,s)$ NICHT definiert!)
Also:
Obige Folge rationaler Zahlen, die in $\IR$ eine gegen $\sqrt{2} \in \IR$ konvergente Folge war, ist sicher auch eine Cauchyfolge im metrischen Raum $\IR\,,$ sie ist aber wegen $(I)\,$ dann auch eine im metrischen Raum $\IQ\,.$ (Ich spreche nur kurz vom metrischen Raum $\IR\,,$ obwohl ich damit $(\IR,d_{|.|})$ meine, und analog vom metrischen Raum $\IQ\,,$ wenn ich $(\IQ,d^{\IQ}_{|.|})$ meine.)
Wegen $(I)\;$ und $\IQ \subseteq \IR$ ist der Grenzwert in $\IR$ dieser Folge rationaler Zahlen eindeutig. Nimm' mal an, $\IQ$ wäre vollständig. Dann hätte diese Folge rationaler Zahlen auch einen Grenzwert in $\IQ\,.$ Was erhältst Du dann für einen Widerspruch?
(Oder eine andere Argumentation: Klar ist, dass diese Folge rationaler Zahlen eine Cauchyfolge ist - das folgt wegen $(I)\,,\;\IQ \subseteq \IR$ und weil sie konvergent in $\IR$ und damit auch eine Cauchyfolge in $\IR$ ist. Und: Kann sie denn in $\IQ$ konvergieren?)
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${\;}^{[1]}$ Anstatt $r,s \in \IQ$ kann man auch $(r,s) \in \IQ \times \IQ$ schreiben!
Gruß,
Marcel
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